כוחות גאות הופכים לחזקים מאוד כאשר גוף נמצא קרוב לפלנטה. לדוגמה, כוח הגאות של הירח הפועל על כדור הארץ גורם לגאות הים שלנו. אנו יודעים גם שכוחות גאות ושפל מעוותים את צורתו של לוויין הנמצא קרוב לפלנטה יותר מאשר לוויין הנמצא רחוק יותר ממנה. אם לוויין מגיע למרחק קריטי מהפלנטה, כוחות גאות יכולים למעשה לקרוע אותו לגזרים. זה המרחק הקריטי, שבו הלוויין ייהרס, נקרא גבול-רוש (Roche).
באדיבות וויקיפדיה
המיקום המדויק של גבול רוש תלוי בצפיפות, כוח וצורה של הגופים, אבל בדרך כלל גודלו בערך שניים עד שלושה רדיוסי פלנטה ממרכזה. בתוך גבול זה, קשה ללוויין גדול לשרוד. ספינות חלל ולוויינים קטנים בגודל של פחות מקילומטר בגודלם נוטים יותר לשרוד בתוך גבול רוש. אם הם מורכבים ממתכת, סלעים בלתי מותכים או קרח, יהיה להם מספיק כוח כדי להתנגד לכוחות הקריעה. גופים גדולים יותר עשויים להתעוות באופן פלסטי, עד שהלחצים הנוצרים בלווינים (ירחים) כה גדולים עד שהם מתפרקים.
אם צביר מסיבי של חלקיקים נמצא במסלול סביב פלנטה מחוץ לגבול רוש, הם עשויים להתלכד ולהפוך לירח. בתוך גבול רוש, הם לא יכלו להצטבר, אבל יישארו בצורת טבעת מפוזרת. זה מאפשר לנו להבין מדוע הטבעות נוצרות כאשר חלקיקים נמצאים קרוב לפלנטה: כוחות הגאות חזקים מכדי לאפשר לחלקיקים להצטבר ולהפוך לגוף מוצק. כוחות הכבידה החזקים בתוך גבול רוש שומרים על חלקיקים אלה כדסקה דקה הנמצאת סביב קו המשווה של הפלנטה.
עקרונות אלה מופשטים לכאורה נתמכים על ידי תצפית ישירה. כל מערכות הטבעת נמצאות בתוך גבול רוש של הפלנטות שלהם. קיימות לעיתים כמה מערכות טבעת, כגון בשבתאי, כאשר הקצוות החיצוניים סמוכים לגבול רוש, בין 1.8 ל- 2.5 פעמים הרדיוס הפלנטרי. למה לא ניתן למצוא את הקצוות של כמה מערכות טבעת במכפילים גדולים יותר או קטנים יותר של רדיוס כוכבי הלכת?
באדיבות teachastronomy
ייתכן שתופתעו לגלות שאתם כבר יודע מספיק כדי לחזות את המיקום של הקצוות החיצוניים של מערכות טבעת! למעשה, די קל לנבא את עובדה בסיסית זו של הטבע: יש לחוזר אל חוק הכבידה העולמי של ניוטון. אדוארד רוש, מתמטיקאי צרפתי, עשה זאת לראשונה ב- 1850. תארו לעצמכם שיש שני חלקיקים טבעתיים זעירים נמצאים במרחק X מהפלנטה. לכל חלקיקים יש מסה m ורדיוס r (לשני החלקיקים יש אותה מסה ואותו גודל). לכוכב יש מסה M ורדיוס R. נניח ששני החלקיקים נוגעים זה בזה. גודל כוח הכבידה מושך אותם יחדיו (מתוך חוק הכבידה של ניוטון):
F = Gm2/(2r)2
עכשיו נחשב את כוח הכבידה מושך חלקיק לעבר הפלנטה. נקבל:
F = GMm/X2
על פי חוק הכבידה של ניוטון, הפלנטה תפעיל כוח כבידה גדול יותר על החלקיק הקרוב בהשוואה לחלקי רחוק יותר. חישוב דיפרנציאלי מאפשר לנו למצוא את ההבדל בכוחות במקומות של שני החלקיקים. אנחנו יכולים לכתוב את הביטוי עבור כוח זה דיפרנציאלי (אם לא למדתם עדיין נושא זה, תצטרכו להאמין לנו!):
ΔF = (-2GMm/X3)Δr
האות היוונית Δ (דלתא) משמש לעתים קרובות במתמטיקה ובפיזיקה עבור תוספת קטנה או הבדל. לכן ΔF הוא שינוי קטן בכוח, ו- Δr הוא שינוי קטן במרחק. סימן מינוס אומר כי כוח דיפרנציאלי מקבל גדול ככל המרחק מן הפלנטה נעשה קטן יותר. ההבדל במרחק הוא רק 2 רדיוסים של החלקיקים:
ΔF =-4GMmr/X3
הכוח הדיפרנציאלי ΔF הוא הכוח המושך את שני החלקיקים הקטנים זה מזה, כאשר כוח המשיכה ביניהם – F, הוא הכוח המושך אותם אחד אל השני. מן המחקר שלנו על טבעות, אנו יכולים לחזות כי בקצה החיצוני של הטבעת שני כוחות אלה שווים. מחוץ למרחק זה, כוח הכבידה F ישמור את החלקיקים יחדיו, והם יהפכו ללוויין יחיד. בתוך מרחק זה, כוחות גאות ושפל יפרידו את החלקיקים זה מזה, כך שהם ינהגו בנפרד כמערכת טבעות. אז בואו נשווה את שני הכוחות וכך נוכל לפתור את המרחק X. נקבל:
Gm2/4r2 = -4GMmr/X3
או,
X3 = -16Mr3/m
סימן המינוס כבר לא חשוב כי אנחנו מעוניינים רק בגודלו של המרחק. המסה של כדור הארץ היא:
M = נפח × צפיפות = (4/3 πR3) × צפיפות כדור הארץ.
המסה של חלקיק היא:
m = נפח × צפיפות = (4/3 πr3) × צפיפות החלקיקים.
אם אנו מחליפים את שני הביטויים הללו עבור M ו- m, הרי שהקבועים 4/3 ו- π יתבטלו. אם הצפיפות של החלקיק שווה לצפיפות הממוצעת של הפלנטה, ניתן לבטל גם את הצפיפות! הביטוי הופך להיות הרבה יותר פשוט:
X3 = 16R3
או,
X ≈ 2.5 R
היחס הפשוט האחרון הזה אומר שכאשר שני הכוחות שווים, החלקיקים ממוקמים בערך במרחק השווה ל- 2.5 רדיוסי הפלנטה. במרחק הקרוב יותר לפלנטה ממרחק זה, כוח הכבידה בין החלקיקים לא יהיה חזק מספיק כדי לשמור אותם יחד. במילים אחרות, טבעת יכולה להתקיים רק בתוך 2.5 רדיוסי פלנטה. זה בעצם מה שאנחנו רואים!
כפי שסיכם רוש עצמו בשנת 1850, הטבעות מוגדרות על ידי כוחות גאות, הפועלים כדי לשמור על חלקיקי הטבעת נפרדים זה מזה. אם צפיפות החלקיקים אינה זהה לצפיפות הפלנטה, הקצה החיצוני של הטבעת נוצר במרחקים שונים – כפי שהם נצפים. התיאוריה יכולה להיות מתוחכמת יותר על ידי התחשבות בשינויים בצפיפות החלקיקים, בכוח הפועל ביניהם ובצורתם. העובדה המדהימה היא שאנחנו יכולים להסתכל דרך טלסקופ, לצפות בממדים של הטבעות של שבתאי, או טבעות של כוכבי לכת אחרים, ולאחר מכן לשבת עם עיפרון, נייר, ולבחון את חוק הכבידה של ניוטון (משנת 1687), ולהסביר מדוע הטבעות נראות כפי שהן נצפות.
Author: Chris Impey