צוות אפולו 11 ב- 20.7.1969.
באדיבות NASA
חישובים רבים במדע יכולים להיעשות באמצעות אומדן. האומדן מעניק לנו דרך מהירה לקבל תובנות באמצעות מספרים גסים או משוערים. גישה זו מתאימה במיוחד באסטרונומיה, שבה רמת הדיוק במדידות רבות נמוכה. במדידות אלה ידועים יותר רק שתיים או שלוש ספרות משמעותיות. בהערכה, אנו מרוצים כאשר מקדם הדיוק הוא שניים או אפילו עשר, כלומר ידוע רק סדר גודל של התוצאה. ההערכה היא אולי הדרך הטובה ביותר להתמודד עם מגוון עצום של סדרי גודל ביקום
נבחן דוגמה קיצונית: כמה פיסות נייר צריך לערום כדי להגיע לירח? העובי של 500 עמודים בחבילת נייר כתיבה הוא בערך 40 מ"מ. למרות שאנו עשויים להיות מסוגלים לעשות מדידה מדויקת יותר של 39 מ"מ או 39.6 מילימטרים, באומדן אנחנו מסתפקים במספר עגול של 40. מכאן, עובי של גיליון אחד
40 / 500 = 0.080 millimeters
המרחק לירח הוא 384,000 ק"מ. מבוטא במילימטרים זה 384,000 פעמים 1,000,000 או
3.84×1011 mm
לכן, מספר פיסות הנייר הנדרש כדי להגיע לירח הוא המרחק מחולק בעובי של עמוד אחד
(3.84 x 1011) / 0.080 = 4.8 x 1012
מספר זה, כמעט 5 טריליון, הוא בערך סדר הגודל של כל הדפים בכל ספרי העולם. ניתן לדמיין את פיסות הנייר כשטרות של דולר. בחשבונות הבנק של רוב האנשים תהיה גובה ערימת הדולרים קטנה מגובהו של אדם. אך, גובה ערמת הדולרים של העשיר העשיר ביותר בעולם יגיע למספר פעמים היקף כדור הארץ. תקציב ארצות הברית בדרך זו ייוצג ע"י ערימה שתגיע כמעט לאמצע הדרך אל הירח!
ניתן בקלות להעריך כמה פעמים כדור הארץ נכנס בתוך הפלנטה הגדולה ביותר במערכת השמש – צדק. קוטר כדור הארץ כ- 13,000 ק"מ, לצדק קוטר של כ- 140,000 ק"מ. נפח צדק
4/3 π (D/2)3 = 4/3 x 3.14 x (70,000)3 = 1.4 x 1015 km3
אם אנחנו מדמיינים את צדק המכיל כדורי הארץ רבים, כך שהם פשוט נוגעים זה בזה כמו גולות בצנצנת, אז כל כדור הארץ ייקח מקום שווה לקוביה שעוטפת את כדור הארץ. נפח כל קובייה העוטפת את כדור הארץ הוא D3 או
(13,000)3 = 2.2 x 1012 km3
לכן מספר כדורי הארץ הנכנסים בצדק הוא בקרוב
(1.4 x 1015) / (2.2 x 1012) ≈ 600
מדענים משתמשים בסימן שווה גלי (≈) או סימן דומה אחר (~), שמשמעותם "שווה בערך". צדק מגמד את כדור הארץ, והסערות הגדולות ביותר על צדק הן אפילו גדולות יותר מכדור הארץ. דוגמה אחת תיתן לנו תחושה של המרחק העצום בין הכוכבים. הגוף המהיר ביותר שנעשה על ידי אדם היא החללית – 11 Pioneer . חללית זו עזב את מערכת השמש לפני מספר שנים והיא נעה במהירות של 110,000 קמ"ש. כמה זמן ייקח לה להגיע למרחק של הכוכבים הקרובים? המרחק אל הכוכב הקרוב ביות Alpha Centauri הוא 1.3 פארסק, או 3.9 x 1013 ק"מ משם. אז מספר שעות שייקח לפיוניר 11 להגיע אל אלפא קנטאורי הוא:
(3.9 x 1013) / 110,000 = 3.5 x 108 hours
אנחנו יכולים להמיר זמן זה לשנים
(3.5 x 108) / (24 x 365) ≈ 40,000 years
זוהי התבוננות מפוקחת על היכולות הטכנולוגיות של המין האנושי כיום. נצטרך לפתח טכנולוגיות חדשות לפני שנוכל לחקור ישירות את הכוכבים. מדענים מנסים לשלב רק מספרים עם דיוק דומה. למה? בגלל התוצאה נשלטת על ידי מספר עם דיוק הנמוך ביותר או לפחות מספר משמעותי של ספרות. במילים אחרות, שילוב של מדידה גדולה עם מדידה עלובה ייתן לך תוצאה עלובה. אנו יכולים לראות זאת בדוגמה הראשונה שלנו. נניח שאנחנו יודעים את המרחק לירח עם דיוק של 8 ספרות משמעותיות או דיוק של סנטימטר בערך. (למעשה אנחנו עושים זאת באמצעות מדידות מכ"ם!). לעומת זאת, המדידה שלנו עובי של פיסת נייר הוא רק מספיק בקושי מפני יש בו רק 2 ספרות משמעותיות. משמעות הדבר היא כי ההערכה שלנו לגבי מספר פיסות נייר באמצעותן ניתן להגיע לירח צריך רק להופיע עם 2 ספרות משמעותיות, מפני שהמדידה שלנו מוגבלת לרמת דיוק נמוכה. הדרך להגיע לאומדן טוב היא באמצעות תירגול. נסו זאת! רק תזכרו להביע את כל הכמויות שאתם מצרפים באותן יחידות. ערבוב מטרים וקילומטרים או גרם וקילוגרם הוא הדרך הקלה ביותר לעשות טעות, משל לוויתור על התשובה שלך במהלך החישוב. אם אתם משתמשים במחשבון, הקפידו להזין מספרים גדולים מאוד או קטנים מאוד בדרך נכונה באמצעות סימון מדעי. אם אתם מבקשים להעריך גודל כלשהו באמצעות רק ספרה אחת או שתיים משמעותיות, אפילו אין צורך במחשבון! זה מה שמדענים מתכוונים בחישוב "על גבי מעטפה". ניתן לחשוב על אומדן כעל סקיצה גסה או מחקר צבע שאמן עושה לפני שהוא ניגש לצייר דיוקן מפורט. מדענים לעיתים קרובות נוקטים בגישה מדורגת, מתחילים באומדן של סדר גודל ואז נעים לעבר חישובים מדויקים יותר.
Author: Chris Impey